抛开八角形平面的砖石建筑不谈，说说八边形的木结构。还是从过去的记载谈起。正八边形要牵扯到√2 的长度比例关系和45度的角度关系，存在无理数。关于古代建筑中的正八边形结构，学者刘畅在紫禁城杂志中发表的《o E $ * g雕虫故事I N ? 1 4——八角》一文中0 $ h / –，这样考证。
山西临汾魏村牛王庙屋架与藻井
山西应县佛宫寺释x B _ 7 l k * ! v迦塔外景
不过正如数学史家李俨先生专门论述的那样，中国古代正八边形的实用做法从一个直角三角形开始，以整数比例简化处理，并n n H b v且不需要借助圆规——实际操作起来，弹线的平直要比钉上木橛、拴上大绳转圈画圆来得踏实、准确些。
中岳庙御碑亭立面图
因此，a * } G = 9 A ]高水平的木匠师傅会根据不同施工内容确定需要什么样的精确程度，再使用不同精度的口诀。事实上这是匠人们心里的事情，我并无直接的证据+ | W ) c o * %。然而，如果把匠家的口诀与实地测; 3 ~ O e /量的结果对照起来，一些有趣的故事就浮出水面了。有四则口诀。
《营造法式》中的“8 , E s &八棱”几何关系示意图
口诀一：八棱径六十，每面二十有五，其斜六十有五。
这是宋$ 5 ~ = s ^ , y u代李诫在《营造法式》“看详”中“谨按《九章算经》及约斜长等密率”定出的比a ) J例算法。这里每面长与“径、面差之半”的比率为1.B t 4 V n H s U42857，与√2真值存在约1%的误差；而八角正面、径、斜三[ j ` 8者，25、60和65，正好构成了一组勾股数，颇为完美。因此这个算法所描述的是中等精度的近似正八角形，正面略大o ? l 7 ~ i %而斜面略小，而简化方法甚有巧思。
口诀二：八角，每面求角至x 7 p ]角用二六一二扣。每面求面对面用二四一四扣。每面求三角至三角用一八四七扣。每面求角至中用一三空六扣。每面求面至中D ] J W ( ` S用一二空七扣……八角，斜有每面正宽若干用一空八二因，搭角斜用一四一四因。
样式雷文档中的“八角”比例关系示意图
这是清样式雷世家遗留下来的抄Q 1 m本记载下来的关于八角形算法的歌诀。这是已知正八角边长，求主次对角线、对面距、外接圆半径和内切圆半径。作为西学传入中国后的x s a ? w g z 8算法，√2取值精确到1.414，但是保留的末位有效数字没有得到四舍五入的修正。比起口诀一，这样的计算固然在精度上有所提高4 : ^ c O – m s，问题是明白“差一寸不用问”的匠` V U 7 K U w人们会接受繁琐的尾数吗？
样式雷文档中的“四大面四小面”比例关系示意图
口诀三：定四大面四小面，四大面以面对面进深四分之二定之，四小面以进深四分之一定之，又用一四一四加料定之。
这也是样式雷抄X ; 6 3 d K i v本中的记载，√2取值精确到1.414。所不同的是，这里描述的H 4 ^ C # T不是正八角，; x n B 8而是正面是通面阔一半，斜面比正面小，仅为通尺寸√2/4的抹角正方形。
样式Y p Z I % . y雷文档中的“八角容方法”示意图
口诀四：定八角面阔歌，系八角容方法，八角原来从内方，内方分中斜之长，长将M Z * g内方须减去，余留折半作勾详，另将内方半为股，勾股求弦宽自揭。若以面对面中取，四面二数Y K R g z 9 X可当。又法用四一四因之。
四川平武报恩寺御碑亭外景
样式雷记录的这则口诀更像是阐述几何规律，乍看上去还4 ( ~ ;有些不知所云。其实，这里的关键词是“八角容方”四个字。参照图示可以看出，1 H ! *这里的内方是八方相间四个端点所构成的，接下来的算法便一B l F X O气呵成1 = g E U，无须解释。至于“若以面对面中取，四面二数可当。又法用四一四因之”，所述不详，大致是概括了八方边长和总宽之间的关系。
